Rozwiązywanie równań liniowych cząstkowych 2-go rzędu metodą charakterystyk

Dla równania różniczkowego cząstkowego rzędu drugiego

\( a_{11} u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+F(x,y,u,u_x,u_y)=0, \)

równanie charakterystyk ma postać:

\( a_{11}\Big(\dfrac{dy}{dx}\Big)^2-2a_{12}\dfrac{dy}{dx}+a_{22}=0. \)

W niniejszym paragrafie pokażemy przykłady rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu wykorzystując postać kanoniczną rozważanego równania. Istotną rolę w tej metodzie ogrywa równanie charakterystyk ( 2 ).

Przykład 1:

Znaleźć rozwiązanie równania

(3)

\( u_{xx} -3u_{yy}+2u_{xy}=0, \)

spełniające warunki początkowe

\( u(x,0)=3x^2,\quad u_y(x,0)=0. \)

Równanie charakterystyk ma postać

\( \Big(\dfrac{dy}{dx}\Big)^2- 2\dfrac{dy}{dx}-3=0, \)

stąd

\( \dfrac{dy}{dx}=-1 \quad\textrm{oraz}\quad \dfrac{dy}{dx}=3. \)

Charakterystykami równania ( 3 ) są rodziny prostych

\( x+y=C_1,\quad 3x-y=C_2. \)

W celu sprowadzenia równania do postaci kanonicznej wprowadzamy nowe zmienne

\( \xi = x+y,\quad \eta =3x-y. \)

Mamy

\( u_x= w_{\xi}+3w_{\eta}, \hskip 2pc u_y= w_{\xi}-w_{\eta}, \hskip 2pc u_{xx}= w_{\xi\xi}+6w_{\xi\eta}+9w_{\eta\eta}, \)

\( u_{xy}=w_{\xi\xi}+ 2w_{\xi\eta}- 3w_{\eta\eta},\hskip 2pc u_{yy}= w_{\xi\xi}-2w_{\xi\eta}+w_{\eta\eta}. \)

Podstawiając uzyskane wielkości do równania wyjściowego otrzymamy

\( w_{\xi\eta}=0. \)

Podstawiając \( \hskip 0.3pc v=w_{\xi}\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( v_{\eta}=0. \)

Stąd \( \hskip 0.3pc v=C. \hskip 0.3pc \) Oczywiście \( \hskip 0.3pc v \hskip 0.3pc \) mże być funkcją zmiennej \( \hskip 0.3pc \xi, \hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc C=f(\xi). \hskip 0.3pc \)
Zatem

\( w_{\xi}= f(\xi ). \)

Całkując ostatnie równanie względem \( \hskip 0.3pc \xi \hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( w(\xi ,\eta)=F(\xi )+G(\eta ), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc G \hskip 0.3pc \) są dowolnymi funkcjami klasy \( \hskip 0.3pc C^1. \hskip 0.3pc \) Wracając do zmiennych wyjściowych mamy

(4)

\( u(x,y)=F(x+y)+G(3x-y). \)

Szukamy teraz funkcji \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc G \hskip 0.3pc \) tak aby były spełnione warunki początkowe, czyli

\( u(x,0)=F(x)+G(3x)=3x^2, \)

\( u_y(x,0)= F^\prime (x)-G'(3x)=0. \)

Z równań

\( F^\prime (x)+3G'(3x)= 6x, \quad F'(x)-G'(3x)=0, \)

otrzymamy

\( G^\prime (3x)=\dfrac 32x, \)

a przyjmując \( \hskip 0.3pc t=3x \hskip 0.3pc \) mamy

\( G^\prime (t)= \dfrac 12 t, \)

czyli

\( G(t)= \dfrac 14 t^2+C. \)

Wykorzystując ponownie pierwszy warunek początkowy oraz ostatnią relacje otrzymamy

\( F(x)=3x^2-G(3x)= 3x^2 - \dfrac 94 x^2-C = \dfrac 34 x^2-C \)

Podstawiając wyznaczone funkcje \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc G \hskip 0.3pc \) do wzoru ( 4 ) otrzymamy szukane rozwiązanie

\( u(x,y)=\dfrac 34(x+y)^2+\dfrac 14(3x-y)^2. \)

Przykład 2:

Znaleźć całkę ogólną równania

(5)

\( u_{xx} -u_{yy}=\dfrac{2}{y-x}(u_x +u_y). \)

Równanie charakterystyk ma postać

\( \Big(\dfrac{dy}{dx}\Big)^2- 1=0. \)

Stąd

\( \dfrac{dy}{dx}=-1 \quad\textrm{oraz}\quad \dfrac{dy}{dx}=1. \)

Charakterystykami równania ( 5 ) są rodziny prostych

\( x+y=C_1,\quad x-y=C_2. \)

Stosując zmianę zmiennych

\( \xi =x+y,\qquad \eta = x-y \)

sprowadzamy równanie wyjściowe do postaci

\( w_{\xi \eta}= -\dfrac{1}{\eta}w_{\xi}. \)

Kładąc \( \hskip 0.3pc v=w_{\xi} \hskip 0.3pc \) otrzymamy równanie

\( v_{\eta}=-\dfrac{1}{\eta}v. \)

Stąd \( \hskip 0.3pc v=\dfrac C\eta. \hskip 0.3pc \) Oczywiście stała \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) może być funkcją zmiennej \( \hskip 0.3pc \xi, \hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc C=f(\xi ).\hskip 0.3pc \) Zatem

\( w_{\xi}= \dfrac{f(\xi)}{\eta}. \)

Po scałkowaniu względem \( \hskip 0.3pc \xi \hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( w=\dfrac 1{\eta}F(\xi)+G(\eta ), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) jet całką z funkcji \( \hskip 0.3pc f. \hskip 0.3pc \) Wracając do zmiennych wyjściowych mamy

\( u(x,y)= \dfrac 1{x-y}F(x+y)+G(x-y). \)

Przykład 3:

Znależć całkę równania

(6)

\( x^2u_{xx} +y^2u_{yy}-2xyu_{xy}+xu_x +yu_y=0, \)

spełniającą warunki:

(7)

\( u(1,y)=y^2, \qquad u_x(1,y)=2(y^2+y). \)

Równanie charakterystyk ma postać

\( x^2\Big(\dfrac{dy}{dx}\Big)^2+2xy\Big(\dfrac{dy}{dx}\Big)+y^2=0, \)

czyli

\( \Big(x\dfrac{dy}{dx}+y\Big)^2=0. \)

Rozwiązując równanie

\( \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x}, \)

otrzymamy

\( yx=C. \)

Po zmianie zmiennych

\( \xi =xy, \qquad \eta =x \)

równanie ( 6 ) przyjmie postać

\( w_{\eta\eta}+\dfrac 1{\eta}w_{\eta}=0. \)

Kładąc

\( v=w_{\eta} \)

otrzymamy

\( \dfrac{d\,v}{d\,\eta}+\dfrac 1{\eta}v=0. \)

Całka tego równania ma postać

\( v= \dfrac C{\eta}. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) może być funkcją \( \hskip 0.3pc \xi, \hskip 0.3pc \) przyjmując \( \hskip 0.3pc C=F(\xi ) \hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \dfrac{d w}{d \eta}= \dfrac 1{\eta} F(\xi). \)

Stąd

\( w=F(\xi )\, {\rm ln} |\eta |+G(\xi ), \)

a wracając do zmiennych wyjściowych

\( u(x,y)=F(xy) {\rm ln}|x|+G(xy). \)

Z pierwszego z warunków ( 7 ) otrzymamy \( \hskip 0.3pc G(y)=y^2, \hskip 0.3pc \) a z drugiego \( \hskip 0.3pc F(y)=2y.\hskip 0.3pc \)
W konsekwencji szukane rozwiązanie ma postać

\( u(x,y)= 2xy\ln |x|+(xy)^2. \)

Zadanie 1:

Treść zadania:

Znaleźć całkę równania

\( \begin{equation*}u_{xx} -(\cos^2x) u_{yy}-2(\sin x) u_{xy}-(\cos x) u_y=0.\end{equation*} \)

Zadanie 2:

Treść zadania:

Znaleźć całkę równania

\( \begin{equation*}y^2u_{xx} +2x^2u_{yy}+2xyu_{xy} +yu_y=0.\end{equation*} \)

Matematyka

Rozwiązywanie równań liniowych cząstkowych 2-go rzędu metodą charakterystyk

Przykład 1:

Przykład 2:

Przykład 3:

Zadanie 1:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Zadanie 2:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Temat:
Opis:
Typ:

Email: